用数字化学习的方式探究函数性质
作者:王鹏远

  数学新课标强调“要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响”,这也是实现信息技术与数学教学深度融合关注的问题之一。本文以函数性质教学为例,探讨信息技术对改进教学的深刻影响。实践证明这一影响不限于方法和手段的改进,同时可能带来根本性的观念更新。

  一、从“数形结合”谈信息技术优势

  无论初中还是高中的函数教学,通常我们都是通过观察图像研究函数性质。以函数的单调性为例,目前的教学多是先通过列表、描点、连线画出静态的函数图像,然后从观察图像的走向得出函数的增减性。我们对学生讲,这就是“数形结合”。教师这样讲了,学生也接受了,可仔细分析这个教学过程就会发现“数形”其实结合得并不充分!

  〖例1〗研究函数的单调性

  通常的方法是先画出函数图像(例如),然后对照静态的图像指出:当α>0时,函数图像在y轴右侧,向右上方无限伸展;在y 轴左侧,向左上方无限伸展。因此,当x>0时,y随着自变量x的增大而增大,当x<0时,y随着自变量x 的增大而减小。一般地,函数图像与函数性质存在下面的关系:图像由左向右呈上升状态,y随着x的增大而增大;图像由左向右呈下降状态,y随着 x的增大而减小。可细一想,从图像由左向右呈上升状态怎么得到y随着x 的增大而增大?从静态的函数图像只看到“形”并没有看到“数”的变化,所以“数形结合”只停留在教师的口头表述和学生的想象中。其实,借助信息技术可以更好地体现“数形结合”,呈现出函数值的变化。

  图1是说明二次函数单调性课件的一个界面:用鼠标选择点x拖动,可以看到点p和点y随之运动,同时标识点p坐标的x与y 的数值也随之变化。图像上的点在动,其坐标反映变量y和变量x的值在变,此时“数与形的结合”生动直观地展现在学生眼前了。此外,还可以通过变量尺改变参数α 的值,观察参数α对函数单调性的影响。可见,在信息技术支撑下的函数单调性教学的效果远胜过常规教学。

  图1函数图像(单调性)

  〖例2〗函数的周期性

  “数形结合”的另一个例子是解读函数的周期性。函数的周期性定义:“对于函数f(x),如果存在一个常数f(x),使得当x 取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T 叫做这个函数的周期。”为帮助学生理解用符号语言表述的这个概念,笔者制作了下面的课件,图2是一个周期为2的函数图像,其中的动点x 可以通过鼠标拖动,不论点x拖动到何处,可以观察到点P与点P’的横坐标始终相差2,而纵坐标总是相等的。

  这个动态演示对函数的周期性定义f(x+T)=f(x)中x的任意性以及常数T 都给出了生动的诠释。借助动态图像便直观地传递出抽象的数学符号要表达的思想。

  图2周期函数图像

  二、直观的优势与局限——让数据说话

  从上面的例子看到借助观察函数图像考查函数性质的优势是直观,但再一想,这其中也有局限性。

  〖例3〗探究函数的单调性

  先画出函数图像(用超级画板的“方便面”作图,具体操作可扫码观看视频1)。从图像看,函数是增函数,即当x增加时y 也增加。利用超级画板“方便面”的“测表达式”和“变量尺”命令,拖动变量尺的滑钮改变x的值,可以观察函数数值连续变化的情况。在[-10,10] 的范围,这个函数的确是增函数,但是当把变量尺的变化范围调整到[-100,100]就发现出问题了:当x增大到足够大之后,函数值不增反降!可以想象,当x 足够大时,函数值会变得足够小。稍加计算,便知当x=500时,y=0.80;x=1000时,y=0.40。

  可见,我们原来通过观察图像得到函数是增函数的结论是错误的,究其原因是当初绘制的图像仅是整个图像的一小部分,我们“以偏概全”导致误判。这个反例说明,单凭观察图像得出函数的性质应该仅仅是猜想,而靠数据说话可以扩大我们的视野。其实,计算恰恰是计算机的长项,快捷地获得一大批数据从而提供了探究函数性质的新方法,这是以前很难做到的。当我们放大尺度重新绘制这个函数的图像也能看出问题!原来函数图像在中途拐了个“弯”,这个特点以前没被注意。这个例子迫使我们从逻辑上思考:二次函数图像会不会也在中途拐个“弯”?画函数图像应该在哪个范围取值,取多少点?二次函数的单调性教学至少应该补充一些数据,以增强猜想的可信度。

  这样,猜想更有合理性。例如对于函数,可以通过变量尺观察自变量取很大的数值时对应的函数值的变化情况。(扫码观看视频2)

  三、单调性表述——从猜想到证明

  高中的函数性质教学不能满足于从图像和数据得到猜想,还需要对猜想进行证明。当然这首先需要给函数的单调性一个更为严谨的描述。“y随着x 的增大而增大”,应该从数值上加以描述。所谓x的增大指后来取的数值与原来的不同,原来取x1,后来取x2,它们之间满足x2>x1; y随着x的增大而增大指的是对应的函数值y2>y1。这样一来只需证明在自变量取值的某一范围内,如果对于任意的x2>x1 ,都能推出y2>y1,就证明了函数在这个范围是递增的。

  视频演示(三节)

  其实对二次函数单调性的证明并不难理解。

  〖证明〗当α>0时,在x>0时,y随着自变量x的增大而增大。

  取自变量大于0的任意两个值x2>x1,如果能证明对应的函数值y2>y1,就说明函数在 [0,∞)上是增函数。事实上,,由于 x2>x1>0,所以,x2-x1>0,x2+x1>0当α>0时有这就证明了y2>y1 。我们用逻辑补充了直观的不足。看来,数学概念教学需要更多的直观手段,但不能止步于直观。反思当前的教学,直观与逻辑都显得不足,缺少了一些数学理性思维的味道,而技术手段的应用是当前数学教学的弱项。

  四、对探究函数单调性方法的改进

  传统教学中,探究函数单调性的方法是通过解析式计算进行列表、描点、连线画图,然后通过观察、猜想得出函数性质。

  其实,这种研究方式绕了一个圈子:既然画图是从函数的解析式计算出发“列表、描点、连线”得出的,那为什么不可以直接通过分析解析式的特点认识函数的性质呢?

  还以函数为例。从解析式至少可以知道:当x=0时,函数值为0;当x>0时,函数值为正;当x<0时,函数值为负。还可以想象,当x 取正值无限增大时分母会比分子大得多,于是整个分数会变得越来越小。所以这个函数在第一象限是先增后减的。把函数变形为,利用平均值不等式可知分母当且仅当x =20时取得最小值,即函数在此时取得最大值。于是可知在[0,20]函数递增,当x>20函数递减。进一步可知在(-∞,2)和(2,+ ∞)函数递减,在[-20,20]函数递增。

  回想起来,对于二次函数,为何不可从(等号当且仅当x=0时成立)得出当x =0时函数取极小值,进一步联想到函数的单调性呢?对于反比例函数也不一定非画出图像后才观察出它的性质。对于对数函数,它的性质都包含在指数函数的性质当中,利用它们互为反函数的关系,就可以把指数函数的性质“翻译”成对数函数的性质。

  重视对函数解析式的分析研究,不仅可以极大地节约教学时间,还丰富了积极的、有价值的数学思考。当然辅之以函数图像的展示还是必要的,但不必事事都从函数图像出发。

  五、借助数学实验发现函数的性质

  研究函数的性质的目的不仅是了解某一具体函数的性质,更有意义的是通过研究函数性质积累发现数学的途径和方法,丰富数学活动的经验。设计和实施数学实验有助于培养学生提出和发现问题,并独立解决问题的能力。

  〖例4〗关于函数增长快慢的探究

  一般认为函数比函数y=x增长得快,函数比函数增长得快。现在计算当x由0增大到0.5 时,这三个函数的增量:函数y=x由0增大到0.5;函数由0增大到0.25;函数由0增大到0.125。 这说明函数比函数y=x增长得慢,函数比函数增长得更慢。可是当x由0.5增大到1时, 函数y=x由0.5增大到1;函数由0.25增大到1;函数由0.125增大到1。这又说明三个函数中增长得最快,次之,y=x增长得最慢。

  看来,究竟怎么认识函数增长的快慢就值得深入研究了!我们可以设计下面的实验。函数的增量设为△y,自变量的增量为△x,于是函数在某一刻的变化速度为△y/△x。图3显示的是当x由0.57增大到0.8时,两个函数增长速度的比较,这时的增速为1.45,的增速为 1.38。用鼠标选择点C拖动缩小t值。我们可看到另一数据,说明的增速为1.17,而的增速为1.25。当t 值越来越小时,屏幕将显示在x=0.57这一时刻的瞬时速度。

  什么时候的增速与相等呢?通过调整x的数值发现约等于0.67 时,两个函数的增速相等。选择显示按钮发现这时两个函数图像在这一点的切线平行,通过缩小t值发现这时两个函数在这点的增长率为1.33。(扫码观看视频 3)

  图3函数的增长速度比较

  在学过导数之后,可以利用超级画板的“方便面”中的“ds”求导,如“ds(x^2,x)”就是对函数求导,“ds(400*x/(x ^2+400),x)”就是对函数求导,由此验证试验的结果。还可以设计数学实验探究什么时候指数函数反超

  〖例5〗对于一类函数周期性的探究

  我们知道函数y=sinx是以2π为最小正周期的周期函数,现在问y=sin(sinx)、y=sin(1+sin2x)、y =sin(x+sin2x)是周期函数吗?如果只从解析式分析会比较困难,但通过实验就比较容易发现以上函数的一些性质(如图4)。

  图4探究函数的周期性

  对照以上图像再从解析式讨论函数的周期性不是很有意义吗?还可以提出更多的问题在计算机上进行实验。可见,数学实验可以极大丰富学生的课外活动,利于他们发现问题和思考问题。

  (作者系北京大学附属中学高级教师)

  责任编辑:祝元志

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